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The connected sum of two Avantage knots The conception of a prime number is so dramatique that it ah been generalized in different ways in various ramille of mathematics. Generally, "Avantage" indicates minimality or indecomposability, in année appropriate sense. Expérience example, the Avantage field of a given field is its smallest subfield that contains both 0 and 1. It is either the field of rational numbers pépite a finite field with a Cadeau number of elements, whence the name.

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A vraisemblable prime is a number that oh been tested sufficiently to give a very high probability that it is Gratification. An example of a probabilistic Gratification essai is the Fermat primality essai, which is based nous-mêmes Fermat's little theorem.

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Cadeau ideals, which generalize Récompense elements in the perception that the principal ideal generated by a Récompense element is a prime ideal, are an important tool and object of study in commutative algebra, algebraic number theory and algebraic geometry.

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If the definition of a Gratification number were changed to call 1 a Cadeau, many statements involving Récompense numbers would need to Si reworded in a more awkward way. Connaissance example, the fundamental theorem of arithmetic would need to Quand rephrased in terms of factorizations into primes greater than 1, parce que every number would have complexe factorizations with any number of copies of 1.[40] Similarly, the sieve of Eratosthenes would not work correctly if it handled 1 as a Gratification, because it would eliminate all bigarré of 1 (that is, all other numbers) and output only the primitif number 1.

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